Question

【题目】设数列的前项和，

（1）求数列的通项公式；

（2）令，记数列前n项和为，求；

（3）利用第二问结果，设是整数，问是否存在正整数n，使等式成立？若存在，求出和相应的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）;（2）（3）当时，存在正整数，使等式成立，当时，不存在正整数使等式成立.

【解析】

（1）直接由与的关系求解；

（2）将（1）中求得的结果代入，化简后利用裂项相消法求和；

（3）将表示为含n的等式，利用是整数，找出符合条件的n即可.

（1）令n＝1得，；当n时，，

所以

（2）当时，,此时 ，又

∴.

故，

当时，

.

（3）若，

则等式为，不是整数，不符合题意；

若，则等式为，

∵是整数, ∴必是的因数, ∵时

∴当且仅当时，是整数，从而是整数符合题意.

综上可知，当时，存在正整数，使等式成立，

当时，不存在正整数使等式成立