Question

13．设向量$\overrightarrow a=（sinx，\sqrt{3}cosx），\overrightarrow b=（-1，1），\overrightarrow c=（1，1）$．（其中x∈[0，π]）
（1）若$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）∥\overrightarrow c$，求实数x的值；
（2）若$\overrightarrow a•\overrightarrow b=\frac{1}{2}$，求函数$sin（x+\frac{π}{6}）$的值．

Answer 1

分析 （1）利用$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）∥\overrightarrow c$，列出方程即可求实数x的值；
（2）由已知条件$\overrightarrow a•\overrightarrow b=\frac{1}{2}$和辅助角公式得到$sin（x+\frac{2π}{3}）=\frac{1}{4}$．然后由同角三角函数关系来求$sin（x+\frac{π}{6}）$的值．

解答 解：（1）∵$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）∥\overrightarrow c⇒（sinx-1）-（\sqrt{3}cosx+1）=0$，
∴$sinx-\sqrt{3}cosx=2⇒2（\frac{1}{2}sinx-\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosx）=2⇒sin（x-\frac{π}{3}）=1$，
又$x∈[{0，π}]⇒x-\frac{π}{3}∈[{-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}}]$，
∴$x-\frac{π}{3}=\frac{π}{2}⇒x=\frac{5π}{6}$．
（2）∵$\overrightarrow a•\overrightarrow b=-sinx+\sqrt{3}cosx=\frac{1}{2}⇒2（-\frac{1}{2}sinx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosx）=\frac{1}{2}$，
∴$sin（x+\frac{2π}{3}）=\frac{1}{4}$，
∴$sin（x+\frac{π}{6}）=sin（（x+\frac{2π}{3}）-\frac{π}{2}）=-cos（x+\frac{2π}{3}）$．
又x∈[0，π]且$sin（x+\frac{2π}{3}）=\frac{1}{4}＞0$$⇒x+\frac{2π}{3}∈（\frac{2π}{3}，π）$，
∴$cos（x+\frac{2π}{3}）=-\frac{{\sqrt{15}}}{4}$即$sin（x+\frac{π}{6}）=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$．

点评 本题考查向量的共线与数量积的运算，三角函数的恒等变换应用，基本知识的考查．