Question

16．顶点在原点，焦点在x轴的抛物线截直线y=-2x-1所得的弦长|AB|=5$\sqrt{3}$，求抛物线的方程．

Answer 1

分析 设抛物线方程为y²=2px（p≠0），将直线方程y=-2x-1代入，并整理，利用韦达定理，结合弦长公式，即可求抛物线的方程．

解答 解：设抛物线方程为y²=2px（p≠0），
将直线方程y=-2x-1代入，并整理得4x²+（4-2p）x+1=0．
设方程的两个根为x₁，x₂，则根据韦达定理有x₁+x₂=$\frac{p-2}{2}$，x₁x₂=$\frac{1}{4}$．
由弦长公式，得|AB|²=75=[1+（-2）²][（x₁+x₂）²-4x₁x₂]，
即15=（$\frac{p-2}{2}$）²-1．
整理得p²-4p-60=0，
解得p=10，或p=-6，
故所求的抛物线方程为y²=20x，或y²=-12x

点评 本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的弦长计算，属于中档题．