Question

7．f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ln（x+1）-\frac{1}{1+{x}^{2}}，x≥0}\\{ln（-x+1）-\frac{1}{1+{x}^{2}}，x＜0}\end{array}\right.$，则使得f（a-2）＜f（4-a²）成立的a取值范围是a＞2或a＜-3或-1＜a＜2．

Answer 1

分析 可知f（x）在R上是偶函数，且在[0，+∞）上是增函数；从而可得|a-2|＜|4-a²|，从而解得．

解答 解：当x＜0时，f（x）=ln（-x+1）-$\frac{1}{1+{x}^{2}}$=f（-x）；
当x＞0时，f（x）=ln（x+1）-$\frac{1}{1+{x}^{2}}$=ln（-（-x）+1）-$\frac{1}{1+{x}^{2}}$=f（-x）；
故f（x）在R上是偶函数；
当x＞0时，f′（x）=$\frac{1}{x+1}$+$\frac{2x}{（1+{x}^{2}）}$＞0，
故f（x）在[0，+∞）上是增函数；
∵f（a-2）＜f（4-a²），
∴|a-2|＜|4-a²|，
即|a+2|＞1且|a-2|≠0，
即a＞2或a＜-3或-1＜a＜2；
故答案为：a＞2或a＜-3或-1＜a＜2．

点评 本题考查了分段函数的性质的判断与应用．