Question

8．若函数f（x）=$\frac{kx+7}{\sqrt{k{x}^{2}+4kx+3}}$的定义域为R，则实数k的取值范围为[0，$\frac{3}{4}$）．

Answer 1

分析 由题意可得kx²+4kx+3＞0恒成立，对k讨论，k=0，k＞0，k＜0，结合二次函数的图象和性质，由二次不等式的解法即可得到所求范围．

解答 解：由题意可得kx²+4kx+3＞0恒成立，
当k=0时，即有3＞0恒成立；
当k＞0时，△＜0即为16k²-12k＜0，
解得0＜k＜$\frac{3}{4}$；
当k＜0时，不等式不恒成立．
综上可得，k的取值范围是[0，$\frac{3}{4}$）．
故答案为：[0，$\frac{3}{4}$）．

点评 本题考查不等式成立问题的解法，注意运用二次不等式的解法和二次函数的性质，以及分类讨论的思想方法，属于中档题和易错题．