Question

S_n表示数列{a_n}的前n项和，若对任意n∈N^*，都有9S_n=10a_n+9（n+10），则数列{a_n}的通项公式a_n=

 

，前n项和S_n=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由9S_n=10a_n+9（n+10），n≥2时，9S_n-1=10a_n-1+9（n+9），得{a_n-1}是公比为10的等比数列，n=1时，得a₁-1=-100，由此能求出数列{a_n}的通项公式a_n和前n项和S_n．

解答： 解：9S_n=10a_n+9（n+10），
n≥2时，9S_n-1=10a_n-1+9（n+9），
相减，得9a_n=10a_n-10a_n-1+9，
a_n=10a_n-1-9，
a_n-1=10a_n-1-10，

an-1

an-1-1

=10，
∴{a_n-1}是公比为10的等比数列，
n=1时，9a₁=10a₁+9（1+10），解得a₁=-99，a₁-1=-100，
∴a_n-1=（-100）•10^n-1=-10ⁿ⁺¹，
∴a_n=1-10ⁿ⁺¹．
∴S_n=n-（10²+10³+…+10ⁿ⁺¹）
=n-

100(1-10n)

1-10

=n-

100

9

(10n-1)．
故答案为：1-10ⁿ⁺¹；n-

100

9

(10n-1)．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．