Question

设x＞0，y＞0，

x

+

y

≤t

x+y

恒成立，则t的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：不等式的解法及应用

分析：把已知不等式两边平方，得到(t2-1)(x+y)≥2

xy

恒成立，结合x+y≥2

xy

成立，可知当且仅当t²-1≥1时，(t2-1)(x+y)≥2

xy

恒成立，由t²-1≥1且t＞0求得t的取值范围．

解答： 解：由

x

+

y

≤t

x+y

恒成立，
显然t＞0，两边平方得，
x+y+2

xy

≤t²（x+y），
即(t2-1)(x+y)≥2

xy

恒成立，
∵x+y≥2

xy

成立，
∴当且仅当t²-1≥1时，(t2-1)(x+y)≥2

xy

恒成立，
由t²-1≥1且t＞0，得t≥

2

．
∴t的取值范围是[

2

，+∞）．
故答案为：[

2

，+∞)．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，是中档题．