Question

8．已知双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$，过点F（c，0）作直线交双曲线C的两条渐近线于A，B两点，若B为FA的中点，且OA=c，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $2\sqrt{3}$
• D． $4\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由题意可知：则△AOF为等腰三角形，且OB⊥AF，根据对称性求得B和A点坐标，代入渐近线方程，即可求得b²=3a²，根据双曲线的离心率公式，即可求得答案．

解答 解：双曲线的渐近线方程y=±$\frac{b}{a}$x，由题意可知：设A（m，n），由B为FA的中点，且OA=c，
则△AOF为等腰三角形，且OB⊥AF，
由A关于渐近线y=$\frac{b}{a}$x对称，B（$\frac{m+c}{2}$，$\frac{n}{2}$）则$\frac{n-0}{m-c}$=-$\frac{a}{b}$，且$\frac{n}{2}$=$\frac{b}{a}$×$\frac{m+c}{2}$，
解得：m=$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{c}$，n=$\frac{2ab}{c}$，
由A在渐近线y=-$\frac{b}{a}$x，则$\frac{2ab}{c}$=-$\frac{b}{a}$×$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{c}$，整理得b²=3a²，
双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=2，
∴双曲线的离心率e=2，
故选B．

点评 本题考查双曲线的简单几何性质，双曲线的渐近线方程及离心率公式，考查计算能力，考查数形结合思想，属于中档题．