Question

已知数列{a_n}满足a₁=x，a₂=3x，S_n+1+S_n+S_n-1=3n²+2（n≥2，n∈N^*），S_n是数列{a_n}的前n项和，若对?n∈N^*，a_n＜a_n+1恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知条件推导出a_n+2+a_n+1+a_n=6n+3，n≥2，所以a_n+3+a_n+2+a_n+1=6（n+1）+3，作差，得a_n+3-a_n，n≥2，由此能求出实数x的取值范围．

解答： 解：由Sn+1+Sn+Sn-1=3n2+2，n≥2，n∈N^*，
知S_n+2+S_n+1+S_n=3（n+1）²+2，n∈N^*，
两式作差，得a_n+2+a_n+1+a_n=6n+3，n≥2，
∴a_n+3+a_n+2+a_n+1=6（n+1）+3，
作差，得a_n+3-a_n=6，n≥2，
∴n=1时，a_n=a₁=x，
n=3k-1时，a_n=a_3k-1=a₂+（k-1）×6=2n+3x-4，
n=3k时，a_n=a_3k=a₃+（k-1）×6=2n-9x+8，
∵对任意n∈N^*，a_n＜a_n+1恒成立，
∴a₁＜a₂，且a_3k-1＜a_3k＜a_3k+1＜a_3k+2，
∴

x＜3x 6k+3x-6＜6k-9x+8 6k-9x+8＜6k+6x-5 6k+6x-5＜6k+3x

，
解得

13

15

＜x＜

7

6

，
∴实数x的取值范围是（

13

15

，

7

6

）．

点评：本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．