Question

定义在（-1，1）上的单调函数f（x）=

ax+b

x2+1

为奇函数，且f（

1

2

）=

2

5

．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）解不等式f（t-1）+f（t）＜0．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：由于函数f（x）=

ax+b

x2+1

为奇函数，故f（0）=0，再结合f（

1

2

）=

2

5

解出a，b，从而求出函数的解析式；由函数的奇偶性，把不等式f（t-1）+f（t）＜0转化为f（t-1）＜f（-t），利用函数的单调性进行求解．

解答： 解：（Ⅰ）有题意得：f（0）=0，得b=0，
又f（

1

2

）=

1 2 a+b

1 4 +1

=

2

5

，解得a=1；
∴f（x）=

x

x2+1

；
（Ⅱ）因为f（x）为单调函数，且f（

1

2

）=

2

5

＞f（0），
所以f（x）在（-1，1）上是增函数，
由f（t-1）＜-f（t），
即f（t-1）＜f（-t），
所以

-1＜t-1＜1 -1＜t＜1 t-1＜-t

，
解得：0＜t＜

1

2

．

点评：本题主要考察函数的单调性和奇偶性，注意奇函数中f（0）=0，属于基础题．