题目内容
已知椭圆E：
+
=1（a＞b＞0）的左焦点为F（-2，0）过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为（-1，
），则E的方程为（ ）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 2 |
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
考点：椭圆的简单性质
专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：设过点F的直线方程为：y=k（x+2），联立椭圆方程，消去y，运用韦达定理，和中点坐标公式，化简整理，解方程，即可得到椭圆方程．
解答：
解：设过点F的直线方程为：y=k（x+2），
联立椭圆方程，消去y，得，（b2+a2k2）x2+4a2k2x+4a2k2-a2b2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=-
，即有AB中点为（-
，
），
即有-
=-1，
=
，又k=
=
，
解得，b2=
a2，
且c=2，即有a2-b2=4，
解得，a2=8，b2=4．
则有椭圆E的方程为：
+
=1．
故选D．
联立椭圆方程，消去y，得，（b2+a2k2）x2+4a2k2x+4a2k2-a2b2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=-
| 4a2k2 |
| b2+a2k2 |
| 2a2k2 |
| b2+a2k2 |
| 2kb2 |
| b2+a2k2 |
即有-
| 2a2k2 |
| b2+a2k2 |
| 2kb2 |
| b2+a2k2 |
| ||
| 2 |
| ||||
| -1+2 |
| ||
| 2 |
解得，b2=
| 1 |
| 2 |
且c=2，即有a2-b2=4，
解得，a2=8，b2=4．
则有椭圆E的方程为：
| x2 |
| 8 |
| y2 |
| 4 |
故选D．
点评：本题考查椭圆方程和运用，考查联立直线方程和椭圆方程，消去未知数，运用韦达定理和中点坐标公式，化简整理的运算能力，属于中档题．
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