Question

17．已知f（x）=aln（x-1），g（x）=x²+bx，F（x）=f（x+1）-g（x），其中a，b∈R．
（1）若y=f（x）与y=g（x）的图象在交点（2，k）处的切线互相垂直，求a，b的值；
（2）若x=2是函数F（x）的一个极值点，x₀和1是F（x）的两个零点，且x₀∈（n，n+1）n∈N，求n．

Answer 1

分析 （1）根据导数的几何意义建立切线斜率之间的关系建立方程，求a，b的值；
（2）根据导数和函数极值之间的关系建立方程，即可求n；

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{a}{x-1}$，g′（x）=2x+b，
由题知$\left\{\begin{array}{l}{f（2）=g（2）}\\{f′（2）•g′（2）=-1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{0=4+2b}\\{a（4+b）=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=-2}\end{array}\right.$…（4分）
（2）F（x）=f（x+1）-g（x）=alnx-x²-bx，F$′（x）=\frac{a}{x}-2x-b$．
由题知$\left\{\begin{array}{l}{F′（2）=0}\\{F（1）=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}-4-b=0}\\{1+b=0}\end{array}\right.$，解得a=6，b=-1，…（6分）
∴F（x）=6lnx-x²+x，F$′（x）=\frac{6}{x}-2x+1$=$\frac{-（2x+3）（x-2）}{x}$，
∵x＞0，由F′（x）＞0，解得0＜x＜2；由F′（x）＜0，解得x＞2，
∴F（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）单调递减，
故F（x）至多有两个零点，其中x₁∈（0，2），x₂∈（2，+∞），…（10分）
又F（2）＞F（1）=0，F（3）=6（ln3-1）＞0，F（4）=6（ln4-2）＜0，
∴x₀∈（3，4），故n=3．   …（12分）

点评 本题主要考查导数的应用，要求熟练掌握函数的性质和导数之间的关系，考查学生的运算能力，属于中档题．