Question

10．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E，F分别是PD，PC上的点，且EF∥平面ABCD．
（1）求证：EF∥平面PAB；
（2）若三棱锥F-BCD与四棱锥P-ABCD的体积比为λ（0＜λ＜$\frac{1}{2}$），点G是线段BC上的一点，且平面EFG∥平面PAB，求$\frac{BG}{BC}$的值．

Answer 1

分析 （1）由已知及线面平行的性质可证EF∥CD，结合CD∥AB，可证EF∥AB，进而判定EF∥平面PAB．
（2）设三棱锥F-BCD的高为h₁，体积为V₁，四棱锥P-ABCD的高为h，体积为V，利用三棱锥体积公式，三角形面积公式可求$\frac{CF}{PC}=2λ$，利用面面平行的性质可证FG∥PB，利用平行线分线段成比例的性质可求$\frac{CG}{BC}=\frac{CF}{PC}=2λ$，进而得解$\frac{BG}{BC}$的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵EF∥平面ABCD，平面ABCD∩平面EFCD=CD，
∴EF∥CD，…2分
又四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴EF∥AB，…..5分
∵AB?平面PAB，EF?平面PAB，
∴EF∥平面PAB．…..6分
（2）设三棱锥F-BCD的高为h₁，体积为V₁，四棱锥P-ABCD的高为h，体积为V，
则$\frac{V_1}{V}=\frac{{\frac{1}{3}{S_{△BCD}}•{h_1}}}{{\frac{1}{3}{S_{△ABCD}}•h}}=\frac{1}{2}•\frac{h_1}{h}=\frac{1}{2}\frac{CF}{PC}=λ$．
∴$\frac{CF}{PC}=2λ$．…8分
∵平面EFG∥平面PAB，平面EFG∩平面PBC=FG，平面PAB∩平面PBC=PB，
∴FG∥PB，…..10分
∴$\frac{CG}{BC}=\frac{CF}{PC}=2λ$，
∴$\frac{BG}{BC}=1-2λ$．…12分

点评 本题主要考查了线面平行的性质和判定，三棱锥体积公式，三角形面积公式，面面平行的性质，考查了数形结合思想，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．