Question

13．我国唐代诗人王维诗云：“明月松间照，清泉石上流”，这里明月和清泉，都是自然景物，没有变，形容词“明”对“清”，名词“月”对“泉”，词性不变，其余各词均如此．变化中的不变性质，在文学和数学中都广泛存在．比如我们利用几何画板软件作出抛物线C：x²=y的图象（如图），过交点F作直线l交C于A、B两点，过A、B分别作C的切线，两切线交于点P，过点P作x轴的垂线交C于点N，拖动点B在C上运动，会发现$\frac{|NP|}{|NF|}$是一个定值，该定值是1．

Answer 1

分析 线段AB是过抛物线x²=y焦点F的弦，过A，B两点分别作此抛物线的切线，两切线相交于N点．N点在抛物线的准线上．根据抛物线的定义知：NF=NP，∴现$\frac{|NP|}{|NF|}$是一个定值1．

解答 解：线段AB是过抛物线x²=y焦点F的弦，过A，B两点分别作此抛物线的切线，两切线相交于N点．N点在抛物线的准线上．下面证明
证明：由抛物线x²=y，得其焦点坐标为F（0，$\frac{1}{4}$）．
设A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²），
直线l：y=kx+$\frac{1}{4}$代入抛物线x²=y得：x²-kx-$\frac{1}{4}$=0．
∴x₁x₂=-$\frac{1}{4}$…①．
又抛物线方程为：y=x²，
求导得y′=2x，
∴抛物线过点A的切线的斜率为2x₁，切线方程为y-x₁²=2x₁（x-x₁）…②
抛物线过点B的切线的斜率为2x₂，切线方程为yx₂²-=2x₂（x-x₂）…③
由①②③得：y=-$\frac{1}{4}$．
∴P的轨迹方程是y=-$\frac{1}{4}$，即N在抛物线的准线上；
根据抛物线的定义知：NF=NP，∴$\frac{|NP|}{|NF|}$是一个定值1．
故答案为：1

点评 本题考查了抛物线的性质，对运算能力的要求比较高，属于难题．