Question

18．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（cosθ-2sinθ）=6．
（Ⅰ）写出直线l的直角坐标方程和曲线C的参数方程；
（Ⅱ）在曲线C上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．

Answer 1

分析 （I）直线l：ρ（cosθ-2sinθ）=6，由互化公式可得直角坐标方程．由曲线C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，利用平方关系可得可得C的参数方程．
（II）设点P$（2cosθ，\sqrt{3}sinθ）$，θ∈[0，π）．则点P到直线l的距离d=$\frac{|2cosθ-2\sqrt{3}sinθ-6|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|4cos（θ+\frac{π}{3}）-6|}{\sqrt{5}}$，利用余弦函数的单调性即可得出．

解答 解：（I）直线l：ρ（cosθ-2sinθ）=6，由互化公式可得直角坐标方程：x-2y-6=0．
由曲线C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，可得C的参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
（II）设点P$（2cosθ，\sqrt{3}sinθ）$，θ∈[0，π）．则点P到直线l的距离d=$\frac{|2cosθ-2\sqrt{3}sinθ-6|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|4cos（θ+\frac{π}{3}）-6|}{\sqrt{5}}$≤$\frac{|-4-6|}{\sqrt{5}}$=2$\sqrt{5}$，当且仅当$cos（θ+\frac{π}{3}）$=-1时取等号．此时点P$（-1，\frac{3}{2}）$，d_max=2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、余弦函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．