Question

18．已知函数$f（x）=2\sqrt{2}cosxsin（x-\frac{π}{4}）+1$．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间$[\frac{π}{12}，\;\;\frac{π}{6}]$上的最大值与最小值的和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=$\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）$，由周期公式可得；
（Ⅱ）由x的范围可得$（2x-\frac{π}{4}）∈[-\frac{π}{12}，\;\;\frac{π}{12}]$，分别可得得最小值$\sqrt{2}sin（-\frac{π}{12}）$和最大值$\sqrt{2}sin\frac{π}{12}$，相加由诱导公式计算可得．

解答 解：（Ⅰ）化简可得$f（x）=2\sqrt{2}cosxsin（x-\frac{π}{4}）+1$=$2\sqrt{2}cosx[\frac{{\sqrt{2}}}{2}（sinx-cosx）]+1$
=2cosx（sinx-cosx）+1=2cosxsinx-2cos²x+1=sin2x-cos2x=$\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）$，
∴函数f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{|ω|}=π$；
（Ⅱ）∵$x∈[\frac{π}{12}，\;\;\frac{π}{6}]$，∴$2x∈[\frac{π}{6}，\;\;\frac{π}{3}]$，∴$（2x-\frac{π}{4}）∈[-\frac{π}{12}，\;\;\frac{π}{12}]$．
当$2x-\frac{π}{4}=-\frac{π}{12}$时，函数f（x）取得最小值$\sqrt{2}sin（-\frac{π}{12}）$；
当$2x-\frac{π}{4}=\;\frac{π}{12}$时，函数f（x）取得最大值$\sqrt{2}sin\frac{π}{12}$，
由诱导公式计算可得$\sqrt{2}sin（-\frac{π}{12}）+\sqrt{2}sin（\frac{π}{12}）=0$，
∴函数f（x）在区间$[\frac{π}{12}，\;\;\frac{π}{6}]$上的最大值与最小值的和为0．

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的周期性和最值，属中档题．