Question

9．已知函数f（x）=log_a（7-x），g（x）=log_a（2x+1）（a＞0且a≠1）
（1）若f（3）=2，求a的值；
（2）求函数F（x）=f（x）+g（x）的单调递增区间；
（3）若对任意的x∈[a，a+1]，存在x₀∈[1，5]，使不等式f（x₀）＞g（x）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若f（3）=2，代入计算求a的值；
（2）分类讨论，求函数F（x）=f（x）+g（x）的单调递增区间；
（3）若对任意的x∈[a，a+1]，存在x₀∈[1，5]，使不等式f（x₀）＞g（x）恒成立，转化为f（x）_max＞g（x）_max，即可求a的取值范围．

解答 解：（1）f（3）=log_a（7-3）=2，∴a=2；
（2）F（x）=f（x）+g（x）=log_a[（7-x）（2x+1）]
令t=（7-x）（2x+1）＞0，可得-$\frac{1}{2}$＜x＜7，
t=（7-x）（2x+1）=-2（x-$\frac{13}{4}$）²+$\frac{225}{8}$，∴函数在（-$\frac{1}{2}$，$\frac{13}{4}$）上单调递增，在（$\frac{13}{4}$，7）上单调递减．
∴0＜a＜1时，函数F（x）=f（x）+g（x）的单调递增区间是（$\frac{13}{4}$，7）；
a＞1时，函数F（x）=f（x）+g（x）的单调递增区间是（-$\frac{1}{2}$，$\frac{13}{4}$）；
（3）0＜a＜1时，f（x）_max=log_a2，g（x）_max=log_a（2a+1），
∴由题意，2＜2a+1，∴a＞0.5，∴0.5＜a＜1；
a＞1，时，f（x）_max=log_a6，g（x）_min=log_a（2a+3），
∴由题意，6＞2a+3，∴a＜1.5，∴1＜a＜1.5．
综上所述，0.5＜a＜1或1＜a＜1.5．

点评 本题考查复合函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查函数的最大值，正确转化是关键．