Question

14．如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B-ACD，点M是棱BC的中点，DM=2$\sqrt{2}$

（I）求证：OD⊥平面ABC；
（Ⅱ）求直线MD与平面ABD所成角的正弦．

Answer 1

分析 （Ⅰ）只需证明OD⊥AC，DO⊥OM，即可证得OD⊥面ABC．
（Ⅱ）设M到平面ABD的距离为h，直线MD与平面ABD所成的角为α
由V_M-ADB=V_D-ABM求出h，即sin$α=\frac{h}{MD}$即可

解答 解：（Ⅰ）证明：∵ABCD是菱形，AD=DC，OD⊥AC …（1分）
△ADC中，AD=DC=4，∠ADC=120°，∴OD=2，
又M是DC中点，$OM=OD=2，DM=2\sqrt{2}$，∵OD²+OM²=MD²，∴DO⊥OM…（4分）
OM，AC?面ABC，OM∩AC=0，∴OD⊥面ABC …（6分）
（Ⅱ）△ABM中，AB=4，BM=2，∠ABM=120°
s_△ABM=$\frac{1}{2}AB•BM•sin12{0}^{0}$=2$\sqrt{3}$
由（Ⅰ）得OD⊥面ABC
∴V_M-ADB=V_D-ABM=$\frac{1}{3}OD•{s}_{△ABM}$=$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}…（8分）$．
设M到平面ABD的距离为h，直线MD与平面ABD所成的角为α．
∵$AB=4，AD=4，可知BD=2\sqrt{2}$，∴A到DB的距离d=$\sqrt{{4}^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{14}$．
∴${s}_{△ADB}=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{14}=2\sqrt{7}$
∴V_M-ADB=$\frac{1}{3}{s}_{ADB}×h$=$\frac{1}{3}×2\sqrt{7}×h=\frac{4\sqrt{3}}{3}$
∴$h=\frac{2\sqrt{21}}{7}$，即sin$α=\frac{h}{MD}$=$\frac{\sqrt{42}}{14}$
∴直线MD与平面ABD所成角的正弦为$\frac{\sqrt{42}}{14}$．

点评 本题考查了空间线面垂直的判定，几何法求线面角，等体积法求点面距离，属于中档题．