题目内容
7．若f（x）=x+$\frac{a}{x}$（a＞0），证明：f（x）在（0，+$\sqrt{a}$）上递减，在（$\sqrt{a}$，+∞）上递增．分析 根据单调性的定义，可设x1＞x2＞0，然后作差$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}）$，从而只需证明${x}_{1}，{x}_{2}∈（0，\sqrt{a}）$上，f（x1）＜f（x2），而在$（\sqrt{a}，+∞）$上f（x1）＞f（x2），从而根据单调性的定义得出f（x）在（0，$\sqrt{a}$）上递减，而在（$\sqrt{a}$，+∞）上递增．
解答 证明：设x1＞x2＞0，则：
f（x1）-f（x2）=${x}_{1}+\frac{a}{{x}_{1}}-{x}_{2}-\frac{a}{{x}_{2}}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}）$；
∵x1＞x2；
∴x1-x2＞0；
∴${x}_{1}，{x}_{2}∈（0，\sqrt{a}）$时，0＜x1x2＜a；
∴$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}＞\frac{1}{a}$，a＞0；
∴$\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}＞1$；
∴$1-\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}＜0$；
∴f（x1）＜f（x2）；
∴f（x）在$（0，\sqrt{a}）$上单调递减；
${x}_{1}，{x}_{2}∈（\sqrt{a}，+∞）$时，$1-\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}＞0$；
∴f（x1）＞f（x2）；
∴f（x）在$（\sqrt{a}，+∞）$上单调递增．
点评 考查增函数、减函数的定义，根据单调性定义证明函数单调性的方法和过程，以及不等式的性质，作差的方法比较f（x1），f（x2）的大小．
练习册系列答案
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