Question

19．设A={x|x²-7x+10≤0}，B={x|x²+ax+b＜0}，且A∪B={x|x-3＜4≤2x}．
（1）A∩B=∅，求a+b的值；
（2）若A∩B≠∅，求a+b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出集合A，利用A∪B={x|x-3＜4≤2x}．推出a、b关系式，然后求解a+b的值．
（2）利用交集不是空集，推出二次不等式对应的函数的零点的范围，然后求出a的范围，得到a+b的范围．

解答 解：（1）根据题意，由一元二次方程的解法，可得A={x|x²-7x+10≤0}={x|2≤x≤5}，
A∪B={x|x-3＜4≤2x}，分析可得A∪B={x|2≤x＜7}，
且A∩B=∅，必有B={x|5＜x＜7}，
即 x²+ax+b=0有两解，分别为5，7；
故a=-12，b=35，
a+b=23．
（2）由（1）可知：且A∩B≠∅，必有B={x|a≤x＜7}，a∈[2，5]
即 x²+ax+b=0有两解，分别为a，7；
可得49+7a+b=0，
$\left\{\begin{array}{l}4+2a+b≥0\\ 25+5a+b≤0\end{array}\right.$，
45+5a≤0，可得a≤-9，
24+2a≥0，可得a≥-12．
∴-12≤a≤-9．-6a∈[54，72]
49+7a+b=0，可得a+b=-6a-49∈[5，23]．

点评 本题考查集合间的关系的运算，难点在于由A∩B、A∪B，求出B，必要时要结合数轴进行分析．