Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

2

2

，右焦点到直线l：x-y+4=0的距离为

5 2

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过直线l上的动点P作椭圆C的切线PM、PN，切点分别为M、N，连结MN．
（1）证明：直线MN恒过定点Q；
（2）证明：当MN∥l时，定点Q平分线段MN．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出

c

a

=

2

2

，

c+4

2

=

5 2

2

，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）（1）设P（x₀，y₀）．M（x₁，y₁）．N（x₂，y₂），由已知条件推导出

x0x

2

+y0y=1是直线MN的方程，其中（x₀，y₀）满足直线l的方程，由此能求出直线MN恒过定点Q(-

1

2

，

1

4

)．
（2）由（1）知当MN∥l时，MN的方程为x-y+

3

4

=0，与椭圆方程联立，得x2+x-

7

24

=0，由此能证明点Q平分线段MN．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

2

2

，
右焦点到直线l：x-y+4=0的距离为

5 2

2

．
∴

c

a

=

2

2

，

c+4

2

=

5 2

2

，
解得c=1，a=

2

，b=1，
∴所求椭圆方程为

x2

2

+y2=1．…（3分）
（Ⅱ）（1）证明：设P（x₀，y₀）．M（x₁，y₁）．N（x₂，y₂）．
则椭圆过点M、N的切线方程分别为

x1x

2

+y1y=1，

x2x

2

+y2y=1．…（5分）
∵两切线都过点P，则有

x1x0

2

+y1y0=1，

x2x0

2

+y2y0=1．
这表明M．N均在直线

x0x

2

+y0y=1①上．
由两点决定一条直线知，
式①就是直线MN的方程，其中（x₀，y₀）满足直线l的方程．…（7分）
当点P在直线l上运动时，
可理解为x₀取遍一切实数，相应的y₀为y₀=x₀+4．
代入①消去y₀得

x0

2

x+(x0+4)y-1=0
变形可得x0(

x

2

+y)+(4y-1)=0对一切x₀∈R恒成立．
∴

x 2 +y=0 4y-1=0

由此解得直线MN恒过定点Q(-

1

2

，

1

4

)．…（10分）
（2）证明：由（1）知当MN∥l时，MN的方程为x-y+

3

4

=0
将此方程与椭圆方程联立，消去y得x2+x-

7

24

=0．…（11分）
设MN截椭圆所得弦的中点为Q′（x′，y′），
x′=

x1+x2

2

=-

1

2

，y′=x′+

3

4

=

1

4

，∴点Q′与Q重合．
所以点Q平分线段MN．…（13分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线恒过定点的证明，考查定点平分线段的证明，解题时要认真审题，注意中点坐标公式的合理运用．