Question

在平面直角坐标系中，A（0，0），B（1，2）两点绕定点P顺时针方向旋转θ角后，分别到A′（4，4），B′（5，2）两点，则cosθ的值为

 

．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：三角函数的求值,直线与圆

分析：求出AA′和BB′的中垂线方程，联立得出点P的坐标，然后求出PB与PB′的斜率，利用两条直线所成的角公式求出tanα，即可求出cosα的值．

解答： 解：由题意，画出图形，如图所示；
∵AA′的中点坐标为（2，2），
∴它的中垂线方程：y-2=-（x-2），
即x+y-4=0；
同理BB′的中垂线方程为x=3；
由

x+y-4=0 x=4

，
解得

x=3 y=1

；
∴点P（3，1）为固定点．
又k_PB=

2-1

1-3

=-

1

2

，kPB′=

2-1

5-3

=

1

2

，
∴tanα=

- 1 2 - 1 2

1+(- 1 2 )× 1 2

=-

4

3

；
∴cosα=-

3

5

．

点评：本题考查了直线方程的应用问题，解题时应根据题意画出图形，结合图形解答问题，是中档题．