Question

某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1，2，…，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品；乙厂执行标准B生产该产品，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．
（Ⅰ）已知甲厂产品的等级系数X₁的概率分布列如表所示：

X1	5	6	7	8
P	0.4	a	b	0.1

且X₁的数学期望EX₁=6，求a，b的值；
（Ⅱ）为分析乙厂产品，从该厂生产的产品中随机抽取10件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3   5   4   6   8   5   5   6   3   4，从这10件产品中随机抽取两件（不放回抽样），求这两件产品中符合标准A的产品数ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出0.4+a+b+0.1=1，5×0.4+6a+7b+8×0.1=6，由此能求出a和b．
（Ⅱ）由题意知ξ的所有可能取值为0，1，2，分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答： 解：（Ⅰ）由甲厂产品的等级系数X₁的概率分布列，知：
0.4+a+b+0.1=1，
∵EX₁=6，∴5×0.4+6a+7b+8×0.1=6，
解得a=0.3，b=0.2．
（Ⅱ）由题意知ξ的所有可能取值为0，1，2，
P（ξ=0）=

C 2 4

C 2 10

=

2

15

，
P（ξ=1）=

C 1 6 C 1 4

C 2 10

=

8

15

，
P（ξ=2）=

C 2 6

C 2 10

=

1

3

，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2
P	2 15	8 15	1 3

∴Eξ=0×

2

15

+1×

8

15

+2×

1

3

=

6

5

．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．