Question

已知异面直线a，b所成的角为θ，P为空间任意一点，过P作直线l，若l与a，b所成的角均为φ，有以下命题：
①若θ=60°，φ=90°，则满足条件的直线l有且仅有l条；
②若θ=60°，φ=30°，则满足条件的直线l有仅有l条；
③若θ=60°，φ=70°，则满足条件的直线l有且仅有4条；
④若θ=60°，φ=45°，则满足条件的直线l有且仅有2条；
上述4个命题中真命题有（　　）

• A、l个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：如果a与b所成角为θ，过P点与a，b所成角都是φ的直线条数为：若φ＜

θ

2

，则为0条；若φ=

θ

2

，则为1条；若

θ

2

＜φ＜

180°-θ

2

，则为2条；若φ=

180°-θ

2

，则为3条；若

180°-θ

2

＜φ＜90°，则为4条；若φ=90⁰，则为1条．

解答： 解：如果a与b所成角为θ，过P点与a，b所成角都是φ的直线条数为：
若φ＜

θ

2

，则为0条；若φ=

θ

2

，则为1条；若

θ

2

＜φ＜

180°-θ

2

，则为2条；
若φ=

180°-θ

2

，则为3条；若

180°-θ

2

＜φ＜90°，则为4条；
若φ=90⁰，则为1条．
由此可知：
 ①若θ=60°，φ=90°，则满足条件的直线l有且仅有l条，是真命题；
②若θ=60°，φ=30°，则满足条件的直线l有仅有l条，是真命题；
③若θ=60°，φ=70°，则满足条件的直线l有且仅有4条，是真命题；
④若θ=60°，φ=45°，则满足条件的直线l有且仅有2条，是真命题．
故选：D．

点评：本小题主要考查异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，以及射影等知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题．