Question

如图，在竖直平面内有一个“游戏滑道”，空白部分表示光滑道．黑色正方形表示障碍物，自上而下第一行有1个障碍物，第二行有2个障碍物，…，依此类推．一个半径适当的光滑均匀小球从入口A投入滑道，小球将自由下落，已知小球每次遇到正方形障碍物上顶点时，向左、右两边下落的概率都是

1

2

．记小球遇到第n行第m个障碍物（从左至右）上顶点的概率为P（n，m）=C

m-1 n-1

（

1

2

）^n-1．
（Ⅰ）求P（4，1），P（4，2）的值；
（Ⅱ）已知f（x）=

4-x，1≤x≤3 x-3，3＜x≤6

，设小球遇到第6行第m个障碍物（从左至右）上顶点时，得到的分数为ξ=f（m），试求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,二项式定理的应用

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）由题意利用n次独立重复试验中事件A恰好有k次发生的概率计算公式能求出P（4，1）和P（4，2）．
（Ⅱ）由题意知ξ=3，2，1，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列及数学期望．

解答： 解：（Ⅰ）由题意知P（4，1）=

C

0 3

(

1

2

)3=

1

4

．
P（4，2）=

C

1 3

(

1

2

)(

1

2

)2=

3

8

．
（Ⅱ）由题意知ξ=3，2，1，
P（ξ=3）=P（6，1）+P（6，6）=

1

16

，
P（ξ=2）=P（6，2）+P（6，5）=

5

16

，
P（ξ=1）=P（6，3）+P（6，4）=

5

8

，
∴ξ的分布列为：

ξ	3	2	1
P	1 16	5 16	5 8

∴Eξ=3×

1

16

+2×

5

6

+1×

5

8

=

23

16

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题．