Question

设函数y=f（x）在其图象上任意一点（x₀，y₀）处的切线方程为y-y₀=（3

x

2 0

-6x₀）（x-x₀），且f（3）=0，则不等式

x-1

f(x)

≥0的解集为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：由函数y=f（x）在其图象上任意一点（x₀，y₀）处的切线方程得到函数f（x）在（x₀，y₀）处的导数值，即f′(x0)=3x02-6x0，进一步得到函数的导函数f′（x）=3x²-6x，从而求得原函数f（x）=x³-3x²+C．再由f（3）=0求出c的值，则函数f（x）的解析式可求，代入不等式

x-1

f(x)

≥0求解分数不等式得答案．

解答： 解：∵函数y=f（x）在其图象上任意一点（x₀，y₀）处的切线方程为y-y₀=（3

x

2 0

-6x₀）（x-x₀），
∴f′(x0)=3x02-6x0，则f′（x）=3x²-6x，f（x）=x³-3x²+C．
又f（3）=0，得3³-3×3²+c=0，即C=0．
∴f（x）=x³-3x²，
∴不等式

x-1

f(x)

≥0?

x-1

x3-3x2

≥0．
即x²（x-1）（x-3）≥0 （x≠0，3），
解得：x＜0或0＜x≤1或x＞3．
∴不等式

x-1

f(x)

≥0的解集为（-∞，0）∪（0，1]∪（3，+∞）．??????????????????
故答案为：（-∞，0）∪（0，1]∪（3，+∞）．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，运用了逆推思想方法，考查了分式不等式的解法，是中档题．