Question

若关于x的二次函数f（x）=-x²+bx+c对一切实数x都有：f（2+x）=f（2-x）恒成立．
（1）求实数b的值；
（2）当a∈R时，判断f（

5

4

）与f（-a²-a+1）的大小，并说明理由．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由题意求得函数f（x）在（-∞，2）上是减函数，再根据-a²-a+1=-(a+

1

2

)2+

5

4

≤

5

4

，可得f（

5

4

）＜f（-a²-a+1）．

解答： 解：（1）关于x的二次函数f（x）=-x²+bx+c对一切实数x都有：f（2+x）=f（2-x）恒成立，
故二次函数的对称轴方程为x=2=

b

2

，
∴b=4，
（2）由（1）知f（x）=-x²+4x+c，显然函数在（-∞，2）上是减函数．
由于-a²-a+1═-(a+

1

2

)2+

5

4

≤

5

4

，
∴f（

5

4

）＜f（-a²-a+1）．

点评：本题主要考查二次函数的性质的应用，属于基础题．