Question

17．数列{a_n}的前n项和为S_n，满足2S_n+a_n=n²+2n+2，n∈N^*，数列{b_n}满足b_n=a_n-n
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）求log₃b₃+log₃b₅+…+log₃b_2n+1．

Answer 1

分析 （1）由$2{S_n}+{a_n}={n^2}+2n+2$，得$2{S_{n+1}}+{a_{n+1}}={（n+1）^2}+2（n+1）+2$，两式相减得3a_n+1-a_n=2n+3，又b_n=a_n-n，可得3b_n+1=b_n，利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）由（1）得${b_n}=\frac{2}{3^n}$，可得${b_{2n+1}}=\frac{2}{{{3^{2n+1}}}}$，可得${log_3}{b_{2n+1}}={log_3}\frac{2}{{{3^{2n+1}}}}={log_3}2-（2n+1）$，再利用等差数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）由$2{S_n}+{a_n}={n^2}+2n+2$，
得$2{S_{n+1}}+{a_{n+1}}={（n+1）^2}+2（n+1）+2$，
两式相减得3a_n+1-a_n=2n+3…（2分）
∵b_n=a_n-n，
∴a_n=b_n+n，a_n+1=b_n+1+n+1
∴3b_n+1=b_n…..（4分）
又n=1时，由$2{S_n}+{a_n}={n^2}+2n+2$得${a_1}=\frac{5}{3}$，
∴${b_1}={a_1}-1=\frac{2}{3}$，
∴{b_n}是以$\frac{2}{3}$为首项，$\frac{1}{3}$为公比的等比数列
∴${b_n}=\frac{2}{3^n}$…．（7分）
（2）由（1）得${b_n}=\frac{2}{3^n}$，∴${b_{2n+1}}=\frac{2}{{{3^{2n+1}}}}$，
∴${log_3}{b_{2n+1}}={log_3}\frac{2}{{{3^{2n+1}}}}={log_3}2-（2n+1）$，
∴log₃b₃+log₃b₅+…+log₃b_2n+1
=log₃2-3+log₃2-5+…+log₃2-（2n+1）
=$n{log_3}2-\frac{（3+2n+1）n}{2}$
=nlog₃2-n（n+2）．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．