Question

2．如图，正三棱柱A′B′C′-ABC中，D为AA′中点，E为BC′上的一点，AB=a，CC′=h
（1）若DE⊥平面BCC′B′，求证：BE=EC′
（2）平面BC′D将棱柱A′B′C′-ABC分割为两个几何体，记上面一个几何体的体积为V₁，下面一个几何体的体积为V₂，求V₁，V₂．

Answer 1

分析 （1）推导出AD=A′D=$\frac{h}{2}$，AB=A′C′=a，从而BD=C′D=$\sqrt{{a}^{2}+\frac{{h}^{2}}{4}}$，由DE⊥平面BCC′B′，得DE⊥BC′，由此能证明BE=EC′．
（2）点C′到平面BDA′B′的距离h=$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{a}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，${S}_{梯形BD{A}^{'}{B}^{'}}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2}h+h）a$=$\frac{3}{4}ah$，从而V₁=$\frac{1}{3}×{S}_{梯形BD{A}^{‘}{B}^{’}}×h$=$\frac{\sqrt{3}{a}^{2}h}{8}$，再求出正三棱柱A′B′C′-ABC的体积V=${S}_{△ABC}•C{C}^{'}$，从而V₂=V-V₁，由此能求出结果．

解答 证明：（1）正三棱柱A′B′C′-ABC中，
∵D为AA′中点，E为BC′上的一点，AB=a，CC′=h，
∴AD=A′D=$\frac{h}{2}$，AB=A′C′=a，
∴BD=C′D=$\sqrt{{a}^{2}+\frac{{h}^{2}}{4}}$，
∵DE⊥平面BCC′B′，BC′?平面BCC′B′，
∴DE⊥BC′，
∴BE=EC′．
解：（2）∵平面BC′D将棱柱A′B′C′-ABC分割为两个几何体，
记上面一个几何体的体积为V₁，下面一个几何体的体积为V₂，
点C′到平面BDA′B′的距离h=$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{a}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，
${S}_{梯形BD{A}^{'}{B}^{'}}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2}h+h）a$=$\frac{3}{4}ah$，
∴V₁=$\frac{1}{3}×{S}_{梯形BD{A}^{‘}{B}^{’}}×h$
=$\frac{1}{3}×\frac{3}{4}ah×\frac{\sqrt{3}a}{2}$=$\frac{\sqrt{3}{a}^{2}h}{8}$，
正三棱柱A′B′C′-ABC的体积：
V=${S}_{△ABC}•C{C}^{'}$=$\frac{1}{2}×a×\frac{\sqrt{3}a}{2}h$=$\frac{\sqrt{3}{a}^{2}h}{4}$，
∴V₂=V-V₁=$\frac{\sqrt{3}{a}^{2}h}{4}$-$\frac{\sqrt{3}{a}^{2}h}{8}$=$\frac{\sqrt{3}{a}^{2}h}{8}$．

点评 本题考查两线段相等的证明，考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．