题目内容
袋中有1个白球和4个黑球，且球的大小、形状都相同．每次从其中任取一个球，若取到白球则结束，否则，继续取球，但取球总次数不超过k次（k≥5）．
（Ⅰ）当每次取出的黑球不再放回时，求取球次数ξ的数学期望与方差；
（Ⅱ）当每次取出的黑球仍放回去时，求取球次数η的分布列与数学期望．
（Ⅰ）当每次取出的黑球不再放回时，求取球次数ξ的数学期望与方差；
（Ⅱ）当每次取出的黑球仍放回去时，求取球次数η的分布列与数学期望．
考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列
专题：概率与统计
分析：（Ⅰ）当每次取出的黑球不再放回时，ξ的可能取值为1，2，3，4，5，由题意知知P(ξ=n)=
，n=1，2，3，4，5．由此能求出取球次数ξ的数学期望与方差．
（Ⅱ）当每次取出的黑球仍放回去时，直到取球k次结束，η的可能取值是1，2，…，k，由此能求出取球次数η的分布列与数学期望．
| 1 |
| 5 |
（Ⅱ）当每次取出的黑球仍放回去时，直到取球k次结束，η的可能取值是1，2，…，k，由此能求出取球次数η的分布列与数学期望．
解答：
解：（Ⅰ）当每次取出的黑球不再放回时，
ξ的可能取值为1，2，3，4，5，
由题意知知P(ξ=n)=
，n=1，2，3，4，5．
∴Eξ=1×
+2×
+3×
+4×
+5×
=3，Dξ=(1-3)2×
+(2-3) 2×
+(3-3)2×
+(4-3)2×
+(5-3)2×
=2．
（Ⅱ）当每次取出的黑球仍放回去时，直到取球k次结束，
η的可能取值是1，2，…，k，
所求概率分布列为
Eη=
[1+2(
)+3(
)2+…+(k-1)•(
)k-2]+k(
)k-1
∴
Eη=
[1(
)+2(
)2+…+(k-2)(
)k-2+(k-1)(
)k-1]+k(
)k，
上述两式相减，整理得Eη=1+(
)+(
)2+…+(
)k-2+(
)k-1=5[1-(
)k]．
ξ的可能取值为1，2，3，4，5，
由题意知知P(ξ=n)=
| 1 |
| 5 |
∴Eξ=1×
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
（Ⅱ）当每次取出的黑球仍放回去时，直到取球k次结束，
η的可能取值是1，2，…，k，
所求概率分布列为
| η | 1 | 2 | 3 | … | k-1 | k | ||||||||||||||||
| P |
|
| (
| … | (
| (
|
| 1 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
∴
| 4 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
上述两式相减，整理得Eη=1+(
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．
练习册系列答案
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| A、p∧q |
| B、p∨（￢q） |
| C、（￢p）∧q |
| D、p∧（￢q） |