Question

已知函数φ（x）=lnx．
（1）若曲线g（x）=φ（x）+

a

x

-1在点（2，g（2））处的切线与直线3x+y-1=0平行，求a的值；
（2）求证函数f（x）=φ（x）-

2(x-1)

x+1

在（0，+∞）上为单调增函数；
（3）设m，n∈R⁺，且m≠n，求证：

m-n

m+n

＜|

lnm-lnn

2

|．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：证明题,导数的综合应用

分析：（1）先求出g（x）的导数g′（x），求出g′（2），根据条件得到g′（2）=-3，解出a的值；
（2）可先求出f（x）的导数f′（x），并化简整理、因式分解，由条件x＞0，即可判断导数的符号，从而得证；
（3）设m＞n＞0，应用分析法证明，要证原不等式成立，可以适当变形，只需证

m n -1

m n +1

＜

ln m n

2

，然后构造函数h（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

（x＞1），应用导数说明h（x）在（1，+∞）上是单调增函数，从而h（x）＞h（1）=0，即可得证．

解答： 解：（1）g(x)=ϕ(x)+

a

x

-1=lnx+

a

x

-1（x＞0），g′(x)=

1

x

-

a

x2

（x＞0），
∵曲线g(x)=ϕ(x)+

a

x

-1在点（2，g（2））处的切线与直线3x+y-1=0平行，
∴g′(2)=

1

2

-

a

4

=-3，解得a=14；
（2）证明：f(x)=ϕ(x)-

2(x-1)

x+1

═lnx-

2(x-1)

x+1

（x＞0），
∴f′(x)=

1

x

-

2(x+1)-2(x-1)

(x+1)2

=

(x-1)2

x(x+1)2

≥0，
∴函数f(x)=ϕ(x)-

2(x-1)

x+1

在（0，+∞）上为单调增函数；
（3）不妨设m＞n＞0，则

m

n

＞1，
要证

m-n

m+n

＜|

lnm-lnn

2

|，
即证

m-n

m+n

＜

lnm-lnn

2

，
只需证

m n -1

m n +1

＜

ln m n

2

，即证ln

m

n

＞

2( m n -1)

m n +1

，
只需证ln

m

n

-

2( m n -1)

m n +1

＞0，
设h（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

（x＞1），
由（2）得，h（x）在（1，+∞）上是单调增函数，
∵x＞1，∴h（x）＞h（1）=0，
即ln

m

n

-

2( m n -1)

m n +1

＞0，
即

m-n

m+n

＜

lnm-lnn

2

．
∴不等式

m-n

m+n

＜|

lnm-lnn

2

|成立．

点评：本题主要考查导数在函数中的应用：求单调区间、证明单调性以及不等式，考查应用导数求切线方程，以及构造函数解题的能力，是一道综合题．