Question

设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC+

1

2

c=b．
（1）求角A的大小；  
（2）若a=1，面积S_△ABC=

3

，求b+c的值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化简，根据sinC不为0求出cosA的值，即可确定出A的度数；
（2）由sinA，以及三角形的面积，利用面积公式求出bc的值，再利用余弦定理列出关系式，将a，bc与cosA的值代入，即可求出b+c的值．

解答： 解：（1）由acosC+

1

2

c=b，利用正弦定理化简得：sinAcosC+

1

2

sinC=sinB，
又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴

1

2

sinC=cosAsinC，
∵sinC≠0，
∴cosA=

1

2

，
又∵0＜A＜π，
∴A=

π

3

；
（2）∵sinA=

3

2

，S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

4

bc，
∴bc=4，
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，得：b²+c²=bc+1=5，
∴（b+c）²=b²+c²+2bc=13，
∴b+c=

13

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．