Question

3．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知
曲线C₁：$\sqrt{2}$ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=3，曲线C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{t}}\\{y=t+1}\end{array}\right.$，（t为参数）．
（I）写出C₁的直角坐标方程和C₂的普通方程；
（Ⅱ）设C₁和C₂的交点为P，求点P在直角坐标系中的坐标．

Answer 1

分析 （ I）已知曲线C₁：$\sqrt{2}$ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=3，展开可得：$\sqrt{2}$ρ×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinθ-cosθ）=3，利用互化公式可得：C₁的直角坐标方程．曲线C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{t}}\\{y=t+1}\end{array}\right.$，（t为参数），消去参数可得C₂的普通方程．
（ II）联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y+3=0}\\{y={x}^{2}+1（x≥0）}\end{array}\right.$，即可解得交点坐标．

解答 解：（ I）已知曲线C₁：$\sqrt{2}$ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=3，展开可得：$\sqrt{2}$ρ×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinθ-cosθ）=3，可得：C₁的直角坐标方程：x-y+3=0．
曲线C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{t}}\\{y=t+1}\end{array}\right.$，（t为参数），消去参数可得：C₂的普通方程：y=x²+1（x≥0）．
（ II）联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y+3=0}\\{y={x}^{2}+1（x≥0）}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=5}\end{array}\right.$，
∴P（2，5）．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．