Question

9．已知定义域为R的函数f（x）=-$\frac{1}{3}$+$\frac{b}{{3}^{x}+1}$是奇函数．
（1）求b的值并判断f（x）的单调性（不需证明，直接判断即可）
（2）若对于任意的m∈R，不等式f（2m-1）+f（m²-2-t）＜0恒成立，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由函数f（x）为奇函数，f（0）=0代入即可求得b的值，求得f（x）的解析式，根据解析式求得函数的单调性；
（2）由函数的奇偶性及单调性将原不等式转化成m²-2-t＞1-2m 在m∈R上恒成立，分离变量，由二次函数的性质即可求得t的取值范围．

解答 解：（1）因为f（x）为奇函数，
所以f（0）=0 即-$\frac{1}{3}$+$\frac{b}{{3}^{0}+1}$=0，
∴b=$\frac{2}{3}$，…（3）
f（x）=$\frac{-{3}^{x}+1}{3（{3}^{x}+1）}$，
根据题意f（x）为减函数．…（6）
（2）由题意得，f（m²-2-t）＜-f（2m-1），
由于f（x）为奇函数  f（m²-2-t）＜f（1-2m），
又f（x）为R上的单调递减函数，
所以m²-2-t＞1-2m 在m∈R上恒成立…（9）
整理得：t＜m²+2m-3=（m+1）²-4，
所以，t＜-4，
即 t的取值范围（-∞，-4）．…（12）

点评 本题考查函数的单调性和奇偶性的应用，考查分离变量法其未知数的取值范围，考查二次函数图象及性质，考查计算能力，属于中档题．