Question

8．已知中心在原点的椭圆Γ₁和抛物线Γ₂有相同的焦点（1，0），椭圆Γ₁的离心率为$\frac{1}{2}$，抛物线Γ₂的顶点为原点．
（Ⅰ） 求椭圆Γ₁和抛物线Γ₂的方程；
（Ⅱ） 设点P为抛物线Γ₂准线上的任意一点，过点P作抛物线Γ₂的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．设直线PA，PB的斜率分别为k₁，k₂，求证：k₁k₂为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设椭圆Γ₁和抛物线Γ₂的方程分别为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），y²=2px，（p＞0），由椭圆Γ₁和抛物线Γ₂有相同的焦点（1，0），椭圆Γ₁的离心率为$\frac{1}{2}$，列出方程组求出a，b，p，由此能求出椭圆Γ₁和抛物线Γ₂的方程．
（Ⅱ）设P（-1，t），过点P与抛物线y²=4x相切的直线方程为y-t=k（x+1），由$\left\{\begin{array}{l}{y-t=k（x+1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得${y}^{2}-\frac{4}{k}y+\frac{4t}{k}+4=0$，由此利用根的判别式能证明k₁k₂为定值．

解答 解：（Ⅰ）设椭圆Γ₁和抛物线Γ₂的方程分别为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），y²=2px，（p＞0），
∵椭圆Γ₁和抛物线Γ₂有相同的焦点（1，0），椭圆Γ₁的离心率为$\frac{1}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{c=1}\\{\frac{p}{2}=1}\end{array}\right.$，解得a=2，c=1，p=2，∴b=$\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$，
∴椭圆Γ₁的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，抛物线Γ₂的方程为y²=4x．
（Ⅱ）证明：设P（-1，t），过点P与抛物线y²=4x相切的直线方程为y-t=k（x+1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y-t=k（x+1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得${y}^{2}-\frac{4}{k}y+\frac{4t}{k}+4=0$，
由△=（-$\frac{4}{k}$）²-4（$\frac{4t}{k}+4$）=0，得k²+tk-1=0，
∵直线PA，PB的斜率分别为k₁，k₂，∴k₁k₂=-1．
∴k₁k₂为定值．

点评 本题考查椭圆方程和抛物线方程的求法，考查两直线的斜率之积为定值的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意抛物线、椭圆性质的合理运用．