Question

16．在标有“甲”的袋中有4个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同．
（Ⅰ）若从袋中依次取出3个球，求在第一次取到红球的条件下，后两次均取到白球的概率；
（Ⅱ）现从甲袋中取出个2红球，1个白球，装入标有“乙”的空袋．若从甲袋中任取2球，乙袋中任取1球，记取出的红球的个数为X，求X的分布列和数学期望EX．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用条件概率公式计算所求的概率值；
（Ⅱ）由题意知X的所有可能取值，计算对应的概率值，
写出随机变量X的分布列，计算数学期望值．

解答 解：（Ⅰ）记“第一次取到红球”为事件A，“后两次均取到白球”为事件B，
则$P（A）=\frac{4}{7}$，$P（{AB}）=\frac{4×3×2}{7×6×5}=\frac{4}{35}$；
所以，“第一次取到红球的条件下，后两次均取到白球的概率”为
$P（{B|A}）=\frac{{P（{AB}）}}{P（A）}=\frac{1}{5}$；…（4分）
（或$P（{B|A}）=\frac{C_3^1C_2^1}{C_6^1C_5^1}=\frac{1}{5}$）    …（4分）
（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2，3；   …（5分）
则$P（X=0）=\frac{C_2^2}{C_4^2}•\frac{C_1^1}{C_3^1}=\frac{1}{18}$，
$P（X=1）=\frac{C_2^1C_2^1}{C_4^2}•\frac{C_1^1}{C_3^1}+\frac{C_2^2}{C_4^2}•\frac{C_2^1}{C_3^1}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$，
$P（X=2）=\frac{C_2^2}{C_4^2}•\frac{C_1^1}{C_3^1}+\frac{C_2^1C_2^1}{C_4^2}•\frac{C_2^1}{C_3^1}=\frac{9}{18}=\frac{1}{2}$，
$P（X=3）=\frac{C_2^2}{C_4^2}•\frac{C_2^1}{C_3^1}=\frac{2}{18}=\frac{1}{9}$；         …（9分）
所以随机变量X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{18}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{9}$

…（10分）
数学期望为$EX=0×\frac{1}{18}+1×\frac{1}{3}+2×\frac{1}{2}+3×\frac{1}{9}=\frac{5}{3}$．…（12分）

点评 本题考查了条件概率与离散型随机变量的分布列和数学期望问题，是中档题．