Question

1．如图所示，在南海上有两座灯塔A，B，这两座灯座之间的距离为60千米，有个货船从岛P处出发前往距离120千米岛Q处，行驶至一半路程时刚好到达M处，恰好M处在灯塔A的正南方，也正好在灯塔B的正西方，向量$\overrightarrow{PQ}⊥\overrightarrow{BA}$，则$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BP}$=-3600．

Answer 1

分析 建立坐标系，设出A，B的坐标，用A，B的坐标表示出P，Q的坐标，从而得出答案．

解答 解：以M为原点，以MB，MA为坐标轴建立平面坐标系，设B（a，0），A（0，b），
则直线AB的斜率k=-$\frac{b}{a}$，
∵PQ⊥AB，∴直线PQ的斜率为$\frac{a}{b}$．
∴直线PQ的方程为y=$\frac{a}{b}x$，
设P（m，$\frac{a}{b}m$），∵M是PQ的中点，∴Q（-m，-$\frac{a}{b}m$），
∴$\overrightarrow{AQ}$=（-m，-$\frac{a}{b}m$-b），$\overrightarrow{BP}$=（m-a，$\frac{a}{b}m$），
∴$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BP}$=ma-m²-$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}{m}^{2}$-am=-（m²+$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}{m}^{2}$），
∵PM=$\frac{1}{2}$PQ=60，∴m²+$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}{m}^{2}$=3600，
∴$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BP}$=-3600．
故答案为：-3600．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，坐标法是常用方法，属于中档题．