Question

7．已知非零向量$\overrightarrow a，\vec b$满足$|\overrightarrow a|=2|\vec b|$且$（\overrightarrow a+\vec b）⊥\vec b$，则向量$\overrightarrow a，\vec b$的夹角为$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 直接由向量垂直可得数量积为0，代入$|\overrightarrow a|=2|\vec b|$，得cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=-$\frac{1}{2}$．则向量$\overrightarrow a，\vec b$的夹角可求．

解答 解：∵$|\overrightarrow a|=2|\vec b|$，且$（\overrightarrow a+\vec b）⊥\vec b$，
∴$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}=0$，
即$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|•cos$＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞+$|\overrightarrow{b}{|}^{2}=0$，
则2$|\overrightarrow{b}{|}^{2}$cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞+$|\overrightarrow{b}{|}^{2}=0$，
得cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=-$\frac{1}{2}$．
∴向量$\overrightarrow a，\vec b$的夹角为$\frac{2π}{3}$．
故答案为：$\frac{2π}{3}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查由数量积求向量的夹角，是中档题．