Question

已知命题p：“对任意x∈（0，1），

1

2

x2-lnx-a≥0”，命题q：“存在x∈R，x²+2ax-8-6a=0”，若“p且q”为真，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：计算题,函数的性质及应用,简易逻辑

分析：由p且q为真可得p为真命题，q为真命题，分别求它们为真时的条件，从而求实数a的取值范围．

解答： 解：∵“p且q”为真，
∴p为真命题，q为真命题．
由p真，得：a≤

1

2

x2-lnx在x∈（0，1）恒成立，
设函数f(x)=

1

2

x2-lnx，则f′(x)=x-

1

x

=

x2-1

x

，
令f′（x）≥0，得x≥1，
∴函数f（x）在（0，1）单调递减，（1，+∞）单调递增，
∴f(x)min=f(1)=

1

2

，从而：a≤

1

2

，
由q真，得：△=4a²+4（6a+8）≥0，
即：a²+6a+8≥0，∴a≥-2或a≤-4，
综上：-2≤a≤

1

2

或a≤-4．

点评：本题考查了复合命题的真假性的判断，属于基础题．