Question

已知函数f（x）=

-x2+x，x≤1 log 1 3 x，x＞1

，若对任意的x∈R，不等式f（x）≤m²-

3

4

m恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A、（-∞，-

  1

  4

  ]
• B、（-∞，-

  1

  4

  ]∪[1，+∞）
• C、[1，+∞）
• D、[-

  1

  4

  ，1]

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：求出分段函数的最大值，把不等式f（x）≤m²-

3

4

m恒成立转化为m²-

3

4

m大于等于f（x）的最大值恒成立，然后求解不等式得到实数m的取值范围．

解答： 解：对于函数f（x）=

-x2+x，x≤1 log 1 3 x，x＞1

，
当x≤1时，f（x）=-（x-

1

2

）²+

1

4

≤

1

4

；
当x＞1时，f（x）=log

1

3

x＜0．
则函数f（x）的最大值为

1

4

．
则要使不等式f（x）≤m²-

3

4

m恒成立，
则m²-

3

4

m≥

1

4

恒成立，即m≤-

1

4

或m≥1．
故选B．

点评：本题考查了恒成立问题，训练了分段函数的最值的求法，考查了数学转化思想方法，考查运算能力，是中档题．