Question

已知等差数列{a_n}，a₃=5，a₁+a₂=4．数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n=1-

1

2

b_n．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=

1

2

a_nb_n，求数列{c_n}的前项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列的通项公式可得a_n；再利用当n=1时，有b₁=S₁，当n≥2时，有b_n=S_n-S_n-1，及等比数列的通项公式即可得出b_n．
（2）利用“错位相减法”和等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}公差为d由a₃=5，a₁+a₂=4，
从而a₁=1、d=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1．
又当n=1时，有b₁=S₁=1-

1

2

 b₁，∴b₁=

2

3

．
当n≥2时，有b_n=S_n-S_n-1=

1

2

（b_n-1-b_n），
∴

bn

bn-1

=

1

3

（n≥2）．
∴数列{b_n}是等比数列，且b₁=

2

3

，q=

1

3

，
∴b_n=b₁q^n-1=

2

3n

．
（2）由（1）知：cn=

1

2

anbn=

2n-1

3n

，
∴Tn=c1+c2+…+cn=

1

3

+

3

32

+

5

33

+…+

2n-1

3n

，
∴

1

3

Tn=

1

32

+

3

33

+…+

2n-1

3n+1

，
∴

2

3

Tn=

1

3

+

2

32

+

2

33

+…+

2n-3

3n

-

2n-1

3n+1

=

2

3

-

1

3n

-

2n-1

3n+1

，
∴Tn=1-

n+1

3n

．

点评：本题考查了“等差数列与等比数列的通项公式、错位相减法”和等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．