Question

设函数f（x）定义在实数集上，它的图象关于直线x=1对称，且当x＞1时，f（x）=e^x-sinx，则有（　　）

• A、f（

  2

  3

  ）＜f（

  1

  3

  ）＜f（

  3

  2

  ）
• B、f（

  2

  3

  ）＜f（

  3

  2

  ）＜f（

  1

  3

  ）
• C、f（

  1

  3

  ）＜f（

  3

  2

  ）＜f（

  2

  3

  ）
• D、f（

  3

  2

  ）＜f（

  2

  3

  ）＜f（

  1

  3

  ）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：运用导数判断f（x）在x＞1为递增，由于f（x）的图象关于直线x=1对称，则f（x）在x＜1为递减，且有f（

3

2

）=f（

1

2

），即可得到f（

1

3

）＞f（

1

2

）＞f（

2

3

），进而得到答案．

解答： 解：当x＞1时，f（x）=e^x-sinx，
f′（x）=e^x-cosx，由于e^x＞e，-1≤cosx≤1，
则e^x-cosx＞0，即有f（x）在x＞1为递增，
由于f（x）的图象关于直线x=1对称，
则f（x）在x＜1为递减，
且有f（

3

2

）=f（

1

2

），
由

1

3

＜

1

2

＜

2

3

，则f（

1

3

）＞f（

1

2

）＞f（

2

3

），
则有f（

2

3

）＜f（

3

2

）＜f（

1

3

）．
故选B．

点评：本题考查导数的运用：判断单调性，考查函数的对称性和单调性及应用，考查运算能力，属于中档题．