Question

15．已知数列{a_n}满足S_n+a_n=2n+1．
（1）写出a₁，a₂，a₃并推出的a_n表达式；
（2）用数学归纳法证明所得的结论．

Answer 1

分析 （1）由数列{a_n}满足S_n+a_n=2n+1，分别令n=1，2，3，即可得出．
（2）由（1）猜想：${a_n}=2-\frac{1}{2^n}$．利用数学归纳法证明即可得出．

解答 解：（1）当n=1时，S₁+a₁=2a₁=3，
∴${a_1}=\frac{3}{2}$，
当n=2时，S₂+a₂=a₁+a₂+a₂=5，
∴${a_2}=\frac{7}{4}$，
同样令n=3，则可求出${a_3}=\frac{15}{8}$，
∴${a_1}=\frac{3}{2}$，${a_2}=\frac{7}{4}$，${a_3}=\frac{15}{8}$，
猜测${a_n}=2-\frac{1}{2^n}$．
（2）证明：①由（1）已得当n=1时，命题成立；
②假设n=k时，命题成立，即${a_k}=2-\frac{1}{2^k}$，
当n=k+1时，a₁+a₂+…+a_k+2a_k+1=2（k+1）+1，
且a₁+a₂+…+a_k=2k+1-a_k，
∴2k+1-a_k+2a_k+1=2（k+1）+1=2k+3，
∴$2{a_{k+1}}=2+2-\frac{1}{2^k}$，即${a_{k+1}}=2-\frac{1}{{{2^{k+1}}}}$，
即当n=k+1时，命题成立．
根据①②得n∈N⁺，${a_n}=2-\frac{1}{2^n}$都成立．

点评 本题考查了数学归纳法、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．