题目内容
5．已知F（1，0），直线l：x=-1，P为平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足为点Q，且$\overrightarrow{QP}$•$\overrightarrow{QF}$=$\overrightarrow{FP}$•$\overrightarrow{FQ}$．（1）求动点P的轨迹G的方程；
（2）点F关于原点的对称点为M，过F的直线与G交于A、B两点，且AB不垂直于x轴，直线AM交曲线G于C，直线BM交曲线C于D．
①证明直线AB与曲线CD的倾斜角互补；
②直线CD是否经过定点？若经过定点，求出这个定点，否则，说明理由．
分析 （1）利用直接法，求动点P的轨迹G的方程；
（2）①证明kCD+kAB=0，即可证明直线AB与曲线CD的倾斜角互补；②求出直线CD的方程，即可得出结论．
解答 （1）解：设P（x，y），则Q（-1，y），
∵F（1，0），且$\overrightarrow{QP}$•$\overrightarrow{QF}$=$\overrightarrow{FP}$•$\overrightarrow{FQ}$，
∴（x+1，0）•（2，-y）=（x-1，y）•（-2，y），化简得y2=4x；
（2）①证明：F关于原点的对称点为M（-1，0），设直线AB的方程为x=ny+1，
代入抛物线方程，可得y2-4ny-4=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2=-4．
过M的直线AM的方程为x=my-1，
联立抛物线方程，可得y2-4my+4=0，
设C（x3，y3），则y1y3=4．
∴kAB=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，kCD=$\frac{-4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$
∴kCD+kAB=0．
∴直线AB与直线CD的倾斜角互补．
②解：直线CD的方程为y=-$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$（x-$\frac{4}{{{y}_{1}}^{2}}$）+$\frac{4}{{y}_{1}}$，
令y=0，得x=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{y}_{1}}+\frac{4}{{{y}_{1}}^{2}}$=$\frac{{{y}_{1}}^{2}+{y}_{1}{y}_{2}+4}{{{y}_{1}}^{2}}$=1，
∴直线CD过定点（1，0）．
点评 本题综合考查了直线与抛物线的位置关系、斜率计算公式、直线的方程等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
春雨教育同步作文系列答案| A． | 0 | B． | $\frac{8}{15}$ | C． | $\frac{1}{2}$ | D． | -$\frac{3}{2}$ |
| 甲口味糕点日销量 | 48 | 49 | 50 | 51 |
| 天数 | 20 | 40 | 20 | 20 |
| 乙口味糕点日销量 | 48 | 49 | 50 | 51 |
| 天数 | 40 | 30 | 20 | 10 |
（1）记该店这两种糕点每日的总销量为X份，求X的分布列；
（2）早餐店为了减少浪费，提升利润，决定调整每天制作糕点的份数．
①若产生浪费的概率不超过0.6，求n的最大值；
②以销售这两种糕点的日总利润的期望值为决策依据，在每天所制糕点能全部卖完与n=98之中选其一，应选哪个？
| A． | y≥0 | B． | x≥2 | C． | 2x-y+1≥0 | D． | x+2y+1≥0 |