Question

3．已知实数a、b都是常数，且函数f（x）=$\frac{a|x-1|}{x+2}$+be^x在点（0，f（0））处的切线方程是3x+4y-2=0，其中e=2.71828…是自然对数的底数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设g（x）=（x+2）f（x）-klnx，?x∈（0，+∞），总有g（x）≥0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出x→0时的函数解析式，求出f′（x），进一步求得f′（0），再求出f（0）由题意联立关于a，b的方程组解得a=1，b=0．则函数解析式可求；
（2）写出分段函数g（x）=（x+2）f（x）-klnx=$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）-klnx，x≥1}\\{-（x-1）-klnx，x＜1}\end{array}\right.$．然后对x分类分析，分离参数k后，利用导数求出所构造函数的范围，得到k的范围，取交集得答案．

解答 解：（1）当x→0时，f（x）=$\frac{a|x-1|}{x+2}$+be^x=$\frac{-a（x-1）}{x+2}+b{e}^{x}$，
∴f′（x）=$-\frac{2ax+3a}{（x+2）^{2}}+b{e}^{x}$，则f′（0）=$-\frac{3a}{4}+b$=$-\frac{3}{4}$，
又f（0）=$\frac{a}{2}+b=\frac{1}{2}$，联立解得a=1，b=0．
∴f（x）=$\frac{|x-1|}{x+2}$；
（2）g（x）=（x+2）f（x）-klnx=$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）-klnx，x≥1}\\{-（x-1）-klnx，x＜1}\end{array}\right.$．
当x=1时，g（x）=0≥0对任意实数k恒成立；
当x＞1时，由g（x）≥0，得x-1-klnx≥0，即k≤$\frac{x-1}{lnx}$，
令h（x）=$\frac{x-1}{lnx}$，h′（x）=$\frac{lnx-1+\frac{1}{x}}{l{n}^{2}x}$，令t（x）=lnx-1+$\frac{1}{x}$，则t′（x）=$\frac{1}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}=\frac{x-1}{{x}^{2}}＞0$，
则t（x）在（1，+∞）上为增函数，
∴t（x）＞t（1）=0，即h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）上为增函数，
∴h（x）＞h（1）=0，则k≤0；
当0＜x＜1时，由g（x）≥0，得x-1-klnx≥0，即k≥$\frac{x-1}{lnx}$，
令h（x）=$\frac{x-1}{lnx}$，h′（x）=$\frac{lnx-1+\frac{1}{x}}{l{n}^{2}x}$，令t（x）=lnx-1+$\frac{1}{x}$，
则t′（x）=$\frac{1}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}=\frac{x-1}{{x}^{2}}＜0$，
则t（x）在（0，1）上为减函数，∴t（x）＞t（1）=0，
即h′（x）＞0，h（x）在（0，1）上为增函数，
∴h（x）＜h（1）=0，则k≥0．
综上，要使g（x）=（x+2）f（x）-klnx，?x∈（0，+∞），
总有g（x）≥0恒成立，则实数k=0．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．