Question

20．已知锐角θ满足sin（${\frac{θ}{2}$+$\frac{π}{6}}$）=$\frac{4}{5}$，则cos（θ+$\frac{5π}{6}}$）的值为$-\frac{24}{25}$．

Answer 1

分析 利用同角三角函数关系和诱导公式进行化简求值．

解答 解：∵sin（${\frac{θ}{2}$+$\frac{π}{6}}$）=$\frac{4}{5}$，
∴sin²（${\frac{θ}{2}$+$\frac{π}{6}}$）=$\frac{1}{2}$[1-cos（θ+$\frac{π}{3}$）]=$\frac{16}{25}$，则cos（θ+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{7}{25}$，
∵0＜θ＜$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{3}$＜θ+$\frac{π}{3}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴sin（θ+$\frac{π}{3}$）＞0，
∴sin（θ+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{1-（-\frac{7}{25}）^{2}}$=$\frac{24}{25}$
∴cos（θ+$\frac{5π}{6}$）=cos（$\frac{π}{2}$+θ+$\frac{π}{3}$）=-sin（θ+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{24}{25}$，
故答案为：$-\frac{24}{25}$．

点评 本题考查了三角函数的化简求值，熟记公式即可解答，属于基础题，考查学生的计算能力．