题目内容
已知中心在原点的椭圆C的两个焦点和椭圆C1：4x2+9y2=36的两个焦点是一个正方形的四个顶点，且椭圆C过点A（2，3）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若PQ是椭圆C的弦，O是坐标原点，OP⊥OQ，且点P的坐标为（
，2
），求点Q的坐标．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若PQ是椭圆C的弦，O是坐标原点，OP⊥OQ，且点P的坐标为（
| 2 |
| 3 |
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）由椭圆C1：4x2+9y2=36化为
+
=1，可得两个焦点(±
，0)．由于椭圆C的两个焦点和椭圆C1：4x2+9y2=36的两个焦点是一个正方形的四个顶点，因此可得椭圆C的两个焦点为(0，±
)．可设椭圆C的方程为：
+
=1(a＞b＞0)．把点A（2，3）代入椭圆方程，并利用a2=b2+5即可得出．
（2）设Q（x0，y0），由于
⊥
，可得
x0+2
y0=0．又
+
=1，联立解得即可．
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 4 |
| 5 |
| 5 |
| y2 |
| a2 |
| x2 |
| b2 |
（2）设Q（x0，y0），由于
| OP |
| OQ |
| 2 |
| 3 |
| ||
| 15 |
| ||
| 10 |
解答：
解：（1）由椭圆C1：4x2+9y2=36化为
+
=1，可得两个焦点(±
，0)．
∵椭圆C的两个焦点和椭圆C1：4x2+9y2=36的两个焦点是一个正方形的四个顶点，
∴椭圆C的两个焦点为(0，±
)．
可设椭圆C的方程为：
+
=1(a＞b＞0)．
又椭圆C过点A（2，3），∴
，解得b2=10，a2=15．
∴椭圆C的方程为
+
=1．
（2）设Q（x0，y0），∵
⊥
，
∴
x0+2
y0=0．
又
+
=1，联立解得
或
∴Q(3，-
)或(-3，
)．
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 4 |
| 5 |
∵椭圆C的两个焦点和椭圆C1：4x2+9y2=36的两个焦点是一个正方形的四个顶点，
∴椭圆C的两个焦点为(0，±
| 5 |
可设椭圆C的方程为：
| y2 |
| a2 |
| x2 |
| b2 |
又椭圆C过点A（2，3），∴
|
∴椭圆C的方程为
| y2 |
| 15 |
| x2 |
| 10 |
（2）设Q（x0，y0），∵
| OP |
| OQ |
∴
| 2 |
| 3 |
又
| ||
| 15 |
| ||
| 10 |
|
|
∴Q(3，-
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量与数量积的关系、正方形的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
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设cos（x+y）•sinx-sin（x+y）•cosx=
，且y是第四象限角，则tan
的值为（ ）
| 12 |
| 13 |
| y |
| 2 |
A、±
| ||
B、±
| ||
C、-
| ||
D、-
|
设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是（ ）
| A、若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥α |
| B、若m?α，n?β，m⊥n，则n⊥α |
| C、若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α |
| D、若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β |