题目内容
如图，在长方体A1B1C1D1-ABCD中，AD=CD=4，AD1=5，M是线段B1D1的中点．（1）求证：BM∥平面D1AC；（2）求直线DD1与平面D1AC所成角的正弦值．
考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定
专题：空间位置关系与距离
分析：（1）以D为原点，DA，DA，DD1分别为xyz轴建立空间直角坐标系D-xyz，由坐标法可证
∥
，进而可得BM∥ND1．由线面平行的判定定理可得；（2）设平面D1AC的法向量为
=（x，y，z），根据
•
=-4x+4y=0，且
•
=-4x+3z=0，可求，进而可得cos＜
，
＞，即得所求．
| BM |
| ND1 |
| n |
| n |
| AC |
| n |
| AD1 |
| DD1 |
| n |
解答：
解：（1）在长方体A1B1C1D1-ABCD中，
∵AD=4，AD1=5，∴DD1=
2=3，
以D为原点，DA，DA，DD1分别为xyz轴建立空间直角坐标系D-xyz，
根据题意得A（4，0，0），B（4，4，0），C（0，4，0），D（0，0，0），
B1（4，4，3），D1（0，0，3），线段B1D1的中点为M（2，2，3），线段AC的中点为N（2，2，0）．
∴
=（-2，-2，3），
=（-2，-2，3）．∴
∥
，∴BM∥ND1．
∵BM?平面D1AC，ND1?平面D1AC，∴BM∥平面D1AC．
（2）∵
=（0，0，3），
=（-4，4，0），
=（-4，0，3），
设平面D1AC的法向量为
=（x，y，z），
根据已知得
•
=-4x+4y=0，且
•
=-4x+3z=0，
取x=1，可得y=1，z=
，∴
=（1，1，
）是平面D1AC的一个法向量，
∴cos＜
，
＞=
=
，
∴直线DD1与平面D1AC所成角的正弦值等于
∵AD=4，AD1=5，∴DD1=
| AD12-AD |
以D为原点，DA，DA，DD1分别为xyz轴建立空间直角坐标系D-xyz，
根据题意得A（4，0，0），B（4，4，0），C（0，4，0），D（0，0，0），
B1（4，4，3），D1（0，0，3），线段B1D1的中点为M（2，2，3），线段AC的中点为N（2，2，0）．
∴
| BM |
| ND1 |
| BM |
| ND1 |
∵BM?平面D1AC，ND1?平面D1AC，∴BM∥平面D1AC．
（2）∵
| DD1 |
| AC |
| AD1 |
设平面D1AC的法向量为
| n |
根据已知得
| n |
| AC |
| n |
| AD1 |
取x=1，可得y=1，z=
| 4 |
| 3 |
| n |
| 4 |
| 3 |
∴cos＜
| DD1 |
| n |
| ||||
|
|
2
| ||
| 17 |
∴直线DD1与平面D1AC所成角的正弦值等于
2
| ||
| 17 |
点评：本题考查空间线面的位置关系，涉及线面平行的判定和线面角的正弦值，建系是解决问题的关键，属中档题．
练习册系列答案
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2
，（
）-1，3
的大小顺序为（ ）
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
A、3
| ||||||
B、2
| ||||||
C、（
| ||||||
D、2
|
如图所示，AC=BC=1，∠ACB=90°，PA⊥平面ABC，CE∥PA，PA=2CE=2．
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AB⊥BB1，AC=BC=BB1=2，D为AB的中点，且CD⊥DA1．