Question

在空间四边形S-ABC中，SA=SB=SC，三角形ABC为等边三角形，M，N分别是AB，SC的中点．
（1）求SM与BN的所成角；
（2）连接CM，过N作SM的 平行线NQ，交CM与Q，连接BQ，求∠BNQ．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：（1）连接CM，过N作NQ∥SM，并连接BQ，设SA=a，AB=b，根据中位线的性质，直角三角形边的关系以及余弦定理表示出BN，NQ，BQ，并根据余弦定理求出cos∠BNQ，从而求得∠BNQ，并根据∠BNQ的大小判断该角是否是异面直线SM，BN所成的角，并求出这个角；
（2）根据（1）便知∠BNQ．

解答： 解：（1）如图，连接CM，过N作SM的平行线NQ，交CM与Q，连接BQ；
∵设SA=a，AB=b，则SM=

a2- 1 4 b2

，NQ2=

1

4

a2-

1

16

b2；
BQ2=

1

4

(b2-

1

4

b2)+

1

4

b2=

7

16

b2；
cos∠BSC=

2a2-b2

2a2

，∴BN2=a2-

1

4

a2-a2•

2a2-b2

2a2

=

1

2

b2-

1

4

a2；
∴cos∠BNQ=

NQ2+BN2-BQ2

2NQ•BN

=

1 4 a2- 1 16 b2+ 1 2 b2- 1 4 a2- 7 16 b2

2NQ•BN

=0；
∴∠BNQ=90°；
∵NQ∥SM，∴∠BNQ是异面直线SM与BN的所成角，即所成的角为90°；
（2）由（1）知∠BNQ=90°．

点评：考查直角三角形边的关系，中位线的性质，余弦定理，异面直线所成的角的概念及求法．