Question

已知函数y=x²+

a

x

（a∈R）在x=1处的切线与直线2x-y+1=0平行，且此切线也是圆x²+y²+mx-（3m+1）y=0的切线，则m=

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用,直线与圆

分析：求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件可得a，求得切点，求出切线方程，求出圆的圆心和半径，应用直线与圆相切则d=r，由点到直线的距离公式，列出方程，解出m即可．

解答： 解：∵函数y=x²+

a

x

（a∈R）在x=1处的切线与直线2x-y+1=0平行，
∴f′（1）=2，
由于f′（x）=2x-

a

x2

，
即f′（1）=2-a=2，解得a=0，
函数y=x²，
则切点为（1，1），切线方程为：y-1=2（x-1），
即2x-y-1=0，
由于圆x²+y²+mx-（3m+1）y=0的圆心为（-

m

2

，

3m+1

2

），半径为

m2+(3m+1)2

2

，
由直线与圆相切得，

|2×(- m 2 )- 3m+1 2 -1|

5

=

m2+(3m+1)2

2

，
化简，解得m=±

2

5

．
故答案为：±

2

5

．

点评：本题考查导数的应用：求切线方程，考查直线与圆相切的条件，考查运算能力，属于中档题．